i Misalkan a > b > 0 dan a = bq + r untuk bilangan asli a, b, p dan r maka FPB(a,b) = FPB(b,r) j. Dua bilangan dikatakan prima relatif, jika faktor persekutuan terbesarnya (FPB) sama dengan 1. k. Bezout's Lemma : Untuk setiap bilangan bulat a dan b terdapat bilangan bulat x dan y yang memenuhi ax + by = FPB(a, b) LATIHAN 1 : 1. Teksvideo. Pada soal ini didapat pertanyaan sebagai berikut selisih dua bilangan adalah 8. Jika hasil kali kedua bilangan menghasilkan nilai yang minimum Tentukan kedua bilangan tersebut maka pertama kita misalkan kedua bilangan sebagai X dan Y lalu pernyataan yang diberikan pada soal adalah selisih dua bilangan adalah 8 yang berarti X min y = 8 dan kita dapat diubah bentuknya menjadi Y nya Kuadrat Bilangan Bulat (Pangkat dua) Diperoleh dengan mengalikan bilangan itu dengan bilangan itu sendiri, atau mengalikan bilangan tersebut secara berulang sebanyak dua kali. a 2 = a x a contoh : 4 2 = 4 x 4 = 16 (-9) 2 = (-9) x (-9) = 81 • Pangkat Tiga Bilangan Bulat Diperoleh dengan mengalikan bilangan tersebut secara berulang sebanyak Perkaliandua bilangan bulat positif akan menghasilkan bilangan bulat positif. Sementara, perkalian dua bilangan bulat negatif akan menghasilkan bilangan bulat positif. Kemudian, jika mengalikan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, hasilnya adalah bilangan bulat negatif. Contoh: 3 x 3 = 9 2 x (-4) = -8 (-5) x 1 = -5 (-5) x (-2) = 10. 4. . Persamaan pada soal dioperasikan. Perhatikan bagian penyebut dan pembilang dari bentuk persamaan di atas! Seharusnya terdapat bilangan k sehingga bisa dinyatakan bahwa dan . Misalkan kita ambil k = 2, kemudian kita buktikan 3 pernyataan pertama. Pernyataan 1 salah karena jika k = 2, maka . Pernyataan 2 salah karena jika k = 2, maka . Pernyataan 3 salah karena jika k = 2, maka Dari persamaan diperoleh . Sehingga pernyataan 4 bernilai benar. Dengan demikian, pernyataan yang benar hanya pernyataan 4 saja. Jadi, jawaban yang tepat adalah D. Untuk mempelajarinya lebih jelas, tonton video selanjutnya. Jawab1 dan 2002 dan 1993 dan 198Penjelasan dengan langkah-langkahBilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan cacah 0, 1, 2, 3, ... dan negatifnya -1, -2, -3, .... Bilangan bulat dituliskan tanpa komponen desimal atau + b = 201Kemungkinan nilai a dan b antara lain1 + 200 = 2012 + 199 = 2013 + 198 = 201Jadi, kemungkinan kedua bilangan tersebut jika jumlah keduanya 201​ adalah 1 dan 200, 2 dan 199, serta 3 dan 198 3 kemungkinan nilai bilangan bulat A dan B jika jumlah keduanya 20 adalah A = 15 dan B = 5A = 0 dan B = 20A = -5 dan B = 25Seperti yang sudah kita pelajari di awal materi BILANGAN bahwa bilangan bulat memuat keseluruhan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan bilangan negatif, maka itu berarti, secara teoritis bilangan bulat dapat dibagi menjadi 3 macam • bilangan bulat negatif yang nilainya lebih kecil atau lebih sedikit dari 0. Biasanya, di dalam soal cerita, bilangan ini ditandai dengan kata - kata di bawah permukaan, di bawah 0, dan sebagainya. Pada garis bilangan, letak jalur bilangan negatif berada pada sebelah kiri titik 0. Itulah mengapa dalam garis bilangan, arah kiri selalu berhubungan dengan "mengurangi".Bilangan negatif sangat mudah dikenali karena memiliki tanda minus - di depan angka - angkanya.• bilangan nol 0.• bilangan bulat positif yang nilainya lebih besar atau lebih banyak dari 0. Biasanya, di dalam soal cerita, bilangan ini ditandai dengan kata - kata di atas permukaan, di atas 0, dan sebagainya. Pada garis bilangan, letak jalur bilangan positif berada pada sebelah kanan titik 0. Itulah mengapa dalam garis bilangan, arah kanan selalu berhubungan dengan "menambah".Sebagaimana bilangan lain, bilangan bulat juga dapat dikenai operasi hitungnya dengan beberapa ketentuan, antara lain + + + = ++ + - = - dengan syarat - > ++ + - = + dengan syarat + > -+ - + = 0 dengan syarat nilai minuend = subtrahenda - -b = a + b- + - = -a + a = 0 - - + = -a - -b = -a + bAgar lebih jelasnya, simak pembahasan soal Perhatikan kembali dua bilangan bulat A dan B, carilah 3 kemungkinan kedua bilangan bulat tersebut, jika jumlah keduanya tidak ada ketentuan khusus mengenai nilai kedua bilangan bulat tersebut, maka kita akan menentukan nilai tersebut secara random.• bilangan bulat positif + bilangan bulat positifA + B = 2015 + 5 = 20A = 15 dan B = 5• bilangan nol + bilangan bulat positifA + B = 200 + 20 = 20A = 0 dan B = 20• bilangan bulat negatif + bilangan bulat positifA + B = 20-5 + 25 = 20A = -5 dan B = 25Pelajari lebih lanjut Tentang soal - soal lain mengenai bilangan JAWABANMAPEL MATEMATIKAKELAS VIIMATERI BILANGANKATA KUNCI BILANGAN BULAT, PENJUMLAHAN, NILAI A DAN BKODE SOAL 2KODE KATEGORISASI Dalam tulisan ini, kita akan mengulas mengenai KPK dan FPB, mulai dari definisi, cara menghitung, sampai dengan contoh soal. Sebelum masuk pada pembahasan, mari perhatikan daftar isi IsiFaktor Persekutuan TerbesarApa itu FPB?Cara Menentukan FPBContoh Perhitungan FPBKelipatan Persekutuan TerkecilApa itu KPK?Cara Menentukan KPKContoh Perhitungan KPKAlgoritma EuclidIde di Balik Algoritma EuclidMenghitung FPB dengan Algoritma EuclidContoh Penggunaan Algoritma EuclidHubungan Antara FPB dan KPKFPB dan KPK dari Tiga BilanganFaktor Persekutuan TerbesarApa Itu FPB?FPB dari bilangan bulat a dan b adalah bilangan asli terbesar yang habis membagi keduanya. Hal ini sesuai dengan kepanjangan dari FPB, yaitu Faktor Persekutuan bilangan bulat mempunyai faktor. Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat, dengan $y \neq 0$. Bilangan $y$ disebut faktor dari $x$, jika dan hanya jika $x$ habis dibagi $y$. Dengan kata lain, terdapat bilangan bulat $z$ sedemikian sehingga $x=yz$.Sebagai contoh, $-2$ dan $3$ adalah faktor dari $6$. Namun, $3$ bukan faktor dari $7$. Karena $7$ bersisa $1$ jika dibagi $3$ $7$ tidak habis dibagi $3$.Dalam konteks FPB, faktor-faktor negatif diabaikan. Ini dikarenakan, faktor negatif tidak mungkin jadi yang bulat $12$ dan $18$ memiliki sejumlah faktor. Jika $X$ menyatakan himpunan faktor dari $12$ dan $Y$ himpunan faktor dari $18$, maka$$\begin{aligned}X &= \{ 1,2,3,4,6,12 \} \\Y &= \{ 1,2,3,6,9,18 \}\end{aligned}$$Ternyata, $12$ dan $18$ memiliki sejumlah faktor yang sama, yaitu $1$, $2$, $3$, dan $6$. Nah, bilangan-bilangan ini disebut Faktor Persekutuan dari $12$ dan $18$. Dalam bentuk himpunan,$$X \cap Y = \{ 1,2,3,6 \}$$Di antara faktor-faktor persekutuan ini, ada sebuah faktor dengan nilai terbesar, yaitu $6$. Nah, $6$ ini disebut Faktor Persekutuan Terbesar FPB dari $12$ dan $18$. Dengan kata lain, FPB adalah anggota $X \cap Y$ dengan nilai dari $a$ dan $b$ dinotasikan sebagai $\text{fpb}a,b$ atau $a,b$. Dalam tulisan ini, kita menggunakan notasi kedua. Perlu diingat bahwa penulisan $a,b$ sama saja dengan $b,a$. Jadi, tidak perlu terpaku pada urutan FPBFPB dari bilangan bulat $a$ dan $b$ adalah bilangan asli terbesar yang habis membagi $a$ dan $b$.Jika $a$ dan $b$ adalah $0$, maka $a,b$ tidak ada. Karena setiap bilangan asli membagi $0$, sedangkan bilangan asli terbesar itu tidak jika salah satunya saja yang bernilai $0$, maka $a,0=a$. Penjelasannya cukup sederhana. Faktor terbesar dari $a$ adalah dirinya sendiri. Di pihak lain, $a$ juga faktor dari $0$. Akibatnya, $a$ adalah faktor persekutuan terbesar dari $a$ dan $0$.Ada banyak sifat terkait FPB. Berikut salah satu sifat yang penting untuk 1Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat, yang tidak keduanya nol, maka$$a,b=a,b$$Sifat 1 memungkinkan penggunaan Faktorisasi Prima dalam menghitung Menentukan FPBAda beberapa cara menentukan FPB. Salah satunya, dengan menggunakan faktorisasi prima..Berdasarkan Teorema Fundamental Aritmatika, setiap bilangan asli lebih dari $1$ merupakan bilangan prima atau dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan-bilangan contoh, $5$ adalah bilangan prima. Di pihak lain, $6$ bukan bilangan prima, tetapi $6$ dapat ditulis sebagai hasil kali dua bilangan prima, yaitu $2 \cdot 3$.Penulisan bilangan bulat $a$ sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima disebut faktorisasi prima dari $a$.Berikut adalah prosedur menentukan FPB dengan faktorisasi faktorisasi prima dari setiap bilangan. Faktorisasi prima yang dimaksud adalah $x_1^{p_1}x_2^{p_2} \cdots x_n^{p_n}$, di mana $x_1,x_2,\ldots,x_n$ adalah bilangan prima berbeda dan $p_1,p_2,\ldots,p_n$ adalah bilangan faktor-faktor prima yang sama. Untuk saat ini, abaikan setiap faktor prima yang sama, bandingkan pangkatnya. Pilih faktor dengan pangkat yang lebih faktor-faktor tersebut untuk memperoleh lebih mudah dimengerti, mari membahas beberapa contoh Perhitungan FPBContoh 1FPB dari 36 dan 120 adalah ...Pertama, tuliskan faktorisasi prima kedua bilangan ini.$$\begin{aligned}36 &= 2^2 \cdot 3^2 \\120 &= 2^3 \cdot 3 \cdot 5\end{aligned}$$Lalu, tandai faktor-faktor prima yang sama., yaitu $2$ dan $3$.$$\begin{aligned}36 &= \textcolor{blue}{2}^2 \cdot \textcolor{green}{3}^2 \\120 &= \textcolor{blue}{2}^3 \cdot \textcolor{green}{3} \cdot 5\end{aligned}$$Bandingkan pangkat dari $\textcolor{blue}{2}^2$ dan $\textcolor{blue}{2}^3$. Karena $2 < 3$, maka kita pilih $\textcolor{blue}{2}^2$.$$\begin{aligned}36 &= \textcolor{red}{2^2} \cdot \textcolor{green}{3}^2 \\120 &= 2^3 \cdot \textcolor{green}{3} \cdot 5\end{aligned}$$Berikutnya, bandingkan pangkat dari $\textcolor{green}{3}^2$ dan $\textcolor{green}{3}$. Karena $1 < 2$, maka kita pilih $\textcolor{green}{3}$.$$\begin{aligned}36 &= \textcolor{red}{2^2} \cdot 3^2 \\120 &= 2^3 \cdot \textcolor{red}{3} \cdot 5\end{aligned}$$Dengan demikian, FPB dari $36$ dan $120$ adalah $2^2 \cdot 3=12$.Contoh 2FPB dari 24 dan 36 adalah ...Faktorisasi prima kedua bilangan ini adalah$$\begin{aligned}24 &= 2^3 \cdot 3 \\36 &= 2^2 \cdot 3^2\end{aligned}$$Faktor prima yang sama adalah $2$ dan $3$. Kita pilih, yang memiliki pangkat lebih kecil, yaitu $2^2$ dan $3$. Jadi, FPB dari $24$ dan $36$ adalah $2^2 \cdot 3=12$.Contoh 3FPB dari 36 dan 42 adalah ...Faktorisasi prima kedua bilangan ini adalah$$\begin{aligned}36 &= 2^2 \cdot 3^2 \\42 &= 2 \cdot 3 \cdot 7\end{aligned}$$Faktor prima yang sama adalah $2$ dan $3$. Kita pilih, yang memiliki pangkat lebih kecil, yaitu $2$ dan $3$. Jadi, FPB dari $36$ dan $42$ adalah $2\cdot 3=6$.Contoh 4FPB dari 15, 45, dan 75 adalah ...Faktorisasi prima ketiga bilangan ini adalah$$\begin{aligned}15 &= 3 \cdot 5 \\45 &= 3^2 \cdot 5 \\75 &= 3 \cdot 5^2\end{aligned}$$Faktor prima yang sama adalah $3$ dan $5$. Kita pilih, yang memiliki pangkat lebih kecil, yaitu $3$ dan $5$. Jadi, FPB dari $15$, $45$, dan $75$ adalah $3\cdot 5=15$.Contoh 5FPB dari 28, 84, dan 96 adalah ...Faktorisasi prima ketiga bilangan ini adalah$$\begin{aligned}28 &= 2^2 \cdot 7 \\84 &= 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \\96 &= 2^5 \cdot 3\end{aligned}$$Hanya ada satu faktor prima yang sama, yaitu $2$. Kita pilih, yang memiliki pangkat lebih kecil, yaitu $2^2$. Jadi, FPB dari $28$, $84$, dan $96$ adalah $2^2=4$.Kelipatan Persekutuan TerkecilApa itu KPK?KPK dari bilangan bulat a dan b adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi a dan b. Hal ini sesuai dengan kepanjangan dari KPK, yaitu Kelipatan Persekutuan kelipatan berkaitan erat dengan faktor. Jika $x$ adalah faktor dari $y$, maka $y$ adalah kelipatan dari $x$.Sebagai contoh, $-4$ dan $6$ adalah kelipatan dari $2$. Namun, $9$ bukan kelipatan dari $2$. Karena $2$ bukan faktor dari $9$.Dalam konteks KPK, yang diperhatikan hanya kelipatan yang bernilai positif. Kelipatan negatif diabaikan, karena menyebabkan tidak adanya kelipatan terkecil. Kelipatan nol juga diabaikan. Mengapa?Bilangan bulat $8$ dan $12$ memiliki tak berhingga kelipatan. Jika $X$ menyatakan himpunan kelipatan dari $8$ dan $Y$ himpunan kelipatan dari $12$, maka$$\begin{aligned}X &= \{ 8,16,24,32,40,48,\ldots \} \\Y &= \{ 12,24,36,48,60,\ldots \}\end{aligned}$$Ternyata, $8$ dan $12$ memiliki kelipatan yang sama, yaitu $24$, $48$, dan seterusnya. Nah, bilangan-bilangan ini disebut Kelipatan Persekutuan dari $12$ dan $18$. Dalam bentuk himpunan,$$X \cap Y = \{ 24,48,\ldots \}$$Di antara kelipatan persekutuan ini, ada sebuah kelipatan dengan nilai terkecil, yaitu $24$. Nah, $24$ ini disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil KPK dari $8$ dan $12$. Dengan kata lain, KPK adalah anggota $X \cap Y$ dengan nilai dari $a$ dan $b$ dinotasikan sebagai $\text{kpk}a,b$ atau $[a,b]$. Dalam tulisan ini, kita menggunakan notasi kedua. Perlu diingat bahwa penulisan $[a,b]$ sama saja dengan $[b,a]$.Definisi KPKKPK dari bilangan bulat tak nol $a$ dan $b$ adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi $a$ dan $b$.Sebagaimana FPB, Sifat berikut juga berlaku pada 2Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat tak nol, maka$$[a,b]=[a,b]$$Cara Menentukan KPKAda beberapa cara menentukan KPK. Salah satunya, dengan memanfaatkan faktorisasi adalah prosedur menentukan KPK dengan faktorisasi faktorisasi prima dari setiap bilangan. Faktorisasi prima yang dimaksud adalah $x_1^{p_1}x_2^{p_2} \cdots x_n^{p_n}$, di mana $x_1,x_2,\ldots,x_n$ adalah bilangan prima berbeda dan $p_1,p_2,\ldots,p_n$ adalah bilangan faktor-faktor prima yang dimiliki oleh sedikitnya dua bilangan. Untuk saat ini, abaikan setiap faktor prima yang sama, bandingkan pangkatnya. Pilih faktor dengan pangkat yang lebih faktor-faktor yang hanya dimiliki oleh satu faktor-faktor tersebut untuk memperoleh lebih mudah dimengerti, mari membahas beberapa contoh Perhitungan KPKContoh 6KPK dari 63 dan 75 adalah ...Pertama, tuliskan faktorisasi prima kedua bilangan ini.$$\begin{aligned}63 &= 3^2 \cdot 7 \\75 &= 3 \cdot 5^2\end{aligned}$$Lalu, tandai faktor-faktor prima yang sama.$$\begin{aligned}63 &= \textcolor{blue}{3}^2 \cdot 7 \\75 &= \textcolor{blue}{3} \cdot 5^2\end{aligned}$$Ada satu faktor prima yang sama. Pilih faktor dengan pangkat yang lebih besar. Antara $3^2$ dan $3$, kita pilih $3^2$.Selain itu, ada faktor yang hanya dimiliki oleh satu bilangan, yaitu $5$ dan $7^2$.Kalikan faktor-faktor ini, sehingga diperoleh$$3^2 \cdot 5 \cdot 7^2 = 1575$$sebagai KPK dari $63$ dan $75$.Contoh 7KPK dari 18 dan 24 adalah ...Faktorisasi prima kedua bilangan ini adalah$$\begin{aligned}18 &= 2 \cdot 3^2 \\24 &= 2^3 \cdot 3\end{aligned}$$Faktor prima yang sama adalah $2$ dan $3$. Kita pilih, yang memiliki pangkat lebih besar, yaitu $2^3$ dan $3^2$. Selain itu, tidak ada faktor prima yang hanya dimiliki oleh satu bilangan. Jadi, KPK dari $18$ dan $24$ adalah $2^3\cdot 3^2=72$.Contoh 8KPK dari 54 dan 60 adalah ...Faktorisasi prima kedua bilangan ini adalah$$\begin{aligned}54 &= 2 \cdot 3^3 \\60 &= 2^2 \cdot 3 \cdot 5\end{aligned}$$Faktor prima yang sama adalah $2$ dan $3$. Kita pilih, yang memiliki pangkat lebih besar, yaitu $2^2$ dan $3^3$.Selain itu, ada faktor yang hanya dimiliki oleh satu bilangan, yaitu $5$. Jadi, KPK dari $54$ dan $60$ adalah $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5=540$.Contoh 9KPK dari 36, 40, dan 42 adalah ...Faktorisasi prima kedua bilangan ini adalah$$\begin{aligned}36 &= 2^2 \cdot 3^2 \\40 &= 2^3 \cdot 5 \\42 &= 2 \cdot 3 \cdot 7\end{aligned}$$Faktor prima yang sama adalah $2$ dan $3$. Kita pilih, yang memiliki pangkat lebih besar, yaitu $2^3$ dan $3^2$.Selain itu, ada faktor yang hanya dimiliki oleh satu bilangan, yaitu $5$ dan $7$. Jadi, KPK dari $36$, $40$, dan $42$ adalah $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7=2520$.Contoh 10KPK dari 60, 75, dan 125 adalah ...Faktorisasi prima kedua bilangan ini adalah$$\begin{aligned}60 &= 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \\75 &= 3 \cdot 5^2 \\125 &= 5^3\end{aligned}$$Faktor prima yang sama adalah $3$ dan $5$. Kita pilih, yang memiliki pangkat lebih besar, yaitu $3$ dan $5^3$.Selain itu, ada faktor yang hanya dimiliki oleh satu bilangan, yaitu $2^2$. Jadi, KPK dari $60$, $75$, dan $125$ adalah $3 \cdot 5^3 \cdot 2^2=1500$.Algoritma EuclidPenggunaan faktorisasi prima untuk menghitung FPB seringkali tidak efisien. Terkadang faktorisasi prima dari suatu bilangan sulit untuk dicari. Cara yang lebih efisien adalah menggunakan Algoritma dibalik Algoritma EuclidSebelum membahas mengenai Algoritma Euclid, mari membahas teorema yang mendasari algoritma 3Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli. Jika$$a=qb+r, \quad q,r \in \mathbb{Z} \text{ dan } 0 \leq r < b$$maka $a,b=b,r$.Bukti. Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang memenuhi$$a=qb+r, \quad q,r \in \mathbb{Z} \text{ dan } 0 \leq r < b$$Misalkan pula $K$ adalah himpunan faktor persekutuan dari $b$ dan $r$ serta $M$ adalah himpunan faktor persekutuan dari $a$ dan $b$.Untuk membuktikan $a,b=b,r$, cukup ditunjukkan bahwa $K=M$.Pertama, perlu ditunjukkan $M \subseteq K$. Untuk itu, diambil sebarang $m \in M$. Artinya, $m$ adalah faktor dari $a$ dan $b$. Terdapat bilangan bulat $c_1$ dan $c_2$ sedemikian sehingga$$a=c_1m \quad \text{dan} \quad b=c_2m$$Substitusi nilai $a$ dan $b$ pada $a=qb+r$, sehingga$$c_1m = qc_2m+r \quad \implies \quad r=mc_1-qc_2$$Perhatikan bahwa $c_1-qc_2$ adalah bilangan bulat, sehingga $m$ adalah faktor dari $r$. Karena $m$ faktor dari $b$ dan $r$, maka $m \in K$. Dengan demikian, $M \subseteq K$.Berikutnya, perlu ditunjukkan $K \subseteq M$. Untuk itu, diambil sebarang $k \in K$. Artinya, $k$ adalah faktor dari $b$ dan $r$. Terdapat bilangan bulat $d_1$ dan $d_2$ sedemikian sehingga$$b=d_1k \quad \text{dan} \quad r=d_2k$$Substitusi nilai $b$ dan $r$ pada $a=qb+r$, sehingga$$a = qd_1k+d_2k \quad \implies \quad a=kqd_1+d_2$$Perhatikan bahwa $qd_1+d_2$ adalah bilangan bulat, sehingga $k$ adalah faktor dari $a$. Karena $k$ faktor dari $a$ dan $b$, maka $k \in M$. Dengan demikian, $K \subseteq M$.Berdasarkan $M \subseteq K$ dan $K \subseteq M$, dapat disimpulkan $K=M$. Akibatnya, $a,b=b,r$. ini memudahkan perhitungan FPB. Sebagai contoh, untuk menentukan $1028,36$, kita bisa menghitung $36,20$, karena$$1028 = 28 \times 36 + 20$$Menghitung $36,20$ tentu lebih mudah daripada menghitung $1028,36$.Menghitung FPB dengan Algoritma EuclidAlgoritma Euclid adalah prosedur menghitung FPB dari dua bilangan, melalui penerapan Sifat 3 secara berulang-ulang. Agar lebih jelas, mari menghitung $3481,3599$.Pilih bilangan yang lebih besar $3599$, lalu bagi dengan bilangan yang lebih kecil $3481$. Diperoleh hasil bagi $1$ dengan sisa $118$, artinya$$3599 = 1 \times 3481 + 118$$Berdasarkan Sifat 3, diperoleh$$3599,3481=3481,118 \tag{1}$$Lalu, bagi $3481$ dengan $118$. Diperoleh hasil bagi 29 dengan sisa 59, artinya$$3481 = 29 \times 118 + 59$$Berdasarkan Sifat 3, diperoleh$$3481,118=118,59 \tag{2}$$Berikutnya, bagi $118$ dengan $59$. Ternyata, 118 habis dibagi 59. Dengan kata lain,$$118 = 2 \times 59 + 0$$Akibatnya$$118,59=59 \tag{3}$$Berdasarkan $1$, $2$, dan $3$ diperoleh$$3599,3481 = 3481,118 = 118,59 = 59$$Jadi, $3599,3481=59$. Nah, prosedur yang telah dilakukan disebut Algoritma di atas, bisa lebih ringkas jika ditulis sebagai$$\begin{aligned}3599 &= 1 \times \textcolor{blue}{3481} + \textcolor{green}{118} \\\textcolor{blue}{3481} &= 29 \times \textcolor{green}{118} + \textcolor{red}{59} \\\textcolor{green}{118} &= 2 \times \textcolor{red}{59} + 0\end{aligned}$$Prosedur dihentikan setelah sisaan $0$ diperoleh. FPB dari $3599$ dan $3481$ adalah sisaan tak nol terakhir, yaitu $59$.Algoritma EuclidMisalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif. Jika$$\begin{aligned}a &= q_1b+r_1, \quad &&0 \leq r_1 < b \\b &= q_2r_1+r_2, &&0 \leq r_2 < r_1 \\r_1 &= q_3r_2+r_3, &&0 \leq r_3 < r_2 \\& \; \; \vdots \\r_{n-2} &= q_nr_{n-1}+r_n, \quad &&0 \leq r_n < r_{n-1} \\r_{n-1} &= q_{n+1}r_n+0\end{aligned}$$maka FPB dari $a$ dan $b$ adalah sisaan tak nol terakhir pada prosedur di atas, yaitu $r_n$.Contoh Penggunaan Algoritma EuclidAgar lebih paham, mari berlatih menentukan FPB menggunakan Algoritma 11Tentukan FPB dari 24 dan 36 menggunakan Algoritma bahwa$$\begin{aligned}36 &= 1 \times \textcolor{blue}{24} + \textcolor{green}{12} \\\textcolor{blue}{24} &= 2 \times \textcolor{green}{12} + 0\end{aligned}$$Berdasarkan Algoritma Euclid, FPB dari $24$ dan $36$ adalah sisaan tak nol terakhir, yaitu $12$.Contoh 12Tentukan FPB dari 72 dan 90 menggunakan Algoritma bahwa$$\begin{aligned}90 &= 1 \times \textcolor{blue}{72} + \textcolor{green}{18} \\\textcolor{blue}{72} &= 4 \times \textcolor{green}{18} + 0\end{aligned}$$Berdasarkan Algoritma Euclid, FPB dari $72$ dan $90$ adalah sisaan tak nol terakhir, yaitu $18$.Contoh 13Tentukan FPB dari 36 dan 128 menggunakan Algoritma bahwa$$\begin{aligned}128 &= 3 \times \textcolor{blue}{36} + \textcolor{green}{20} \\\textcolor{blue}{36} &= 1 \times \textcolor{green}{20} + \textcolor{red}{16} \\\textcolor{green}{20} &= 1 \times \textcolor{red}{16} + \textcolor{brown}{4} \\\textcolor{red}{16} &= 4 \times \textcolor{brown}{4} + 0\end{aligned}$$Berdasarkan Algoritma Euclid, FPB dari $36$ dan $128$ adalah sisaan tak nol terakhir, yaitu $4$.Contoh 14Tentukan FPB dari 3722 dan 926 menggunakan Algoritma bahwa$$\begin{aligned}3722 &= 4 \times \textcolor{blue}{926} + \textcolor{green}{18} \\\textcolor{blue}{926} &= 51 \times \textcolor{green}{18} + \textcolor{red}{8} \\\textcolor{green}{18} &= 2 \times \textcolor{red}{8} + \textcolor{brown}{2} \\\textcolor{red}{8} &= 4 \times \textcolor{brown}{2} + 0\end{aligned}$$Berdasarkan Algoritma Euclid, FPB dari $3722$ dan $926$ adalah sisaan tak nol terakhir, yaitu $2$.Hubungan Antara FPB dan KPKAlgoritma Euclid digunakan untuk menghitung FPB, bukan untuk KPK. Namun, ada sebuah sifat yang menyatakan hubungan antara FPB dan KPK dari dua bilangan. Dengan ini, FPB yang diperoleh melalui Algoritma Euclid, bisa digunakan untuk menghitung 4Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan asli, maka$$a,b \cdot [a,b]=ab$$Contoh 15Tentukan KPK dari 24 dan 36 menggunakan Sifat Contoh 11, telah ditunjukkan bahwa $24,36=12$. Berdasarkan Sifat 4, diperoleh$$\begin{aligned}[24,36] &= \frac{24 \cdot 36}{24,36} \\&= \frac{24 \cdot 36}{12} \\&= 2 \cdot 36 \\&= 72\end{aligned}$$Jadi, KPK dari $24$ dan $36$ adalah $72$.Contoh 16Tentukan KPK dari 36 dan 128 menggunakan Sifat Contoh 13, telah ditunjukkan bahwa $36,128=4$. Berdasarkan Sifat 4, diperoleh$$\begin{aligned}[36,128] &= \frac{36 \cdot 128}{36,128} \\&= \frac{36 \cdot 128}{4} \\&= 9 \cdot 128 \\&= 1152\end{aligned}$$Jadi, KPK dari $36$ dan $128$ adalah $1152$.FPB dan KPK dari Tiga BilanganAlgoritma Euclid digunakan untuk menghitung FPB dari dua bilangan. Namun, ada sebuah sifat yang memungkinkan penggunaan Algoritma Euclid secara berulang, untuk menghitung FPB dari tiga bilangan atau 5Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan asli, maka$$a,b,c = a,b,c$$dan$$[a,b,c] = [[a,b],c]$$Agar lebih paham, mari membahas contoh 17Tentukan KPK dari 36, 126 dan 128 menggunakan Sifat bebas memilih dua bilangan, misalnya $36$ dan $128$. Pada Contoh 13, telah ditunjukkan bahwa $36,128=4$. Berdasarkan Sifat 4, diperoleh$$36,126,128=36,128,126=4,126$$Berikutnya, kita hitung $4,126$ menggunakan Algoritma Euclid. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}126 &= 31 \times \textcolor{blue}{4} + \textcolor{green}{2} \\\textcolor{blue}{4} &= 2 \times \textcolor{green}{2} + 0\end{aligned}$$Diperoleh, $4,126=2$. Dengan demikian, $36,126,128=2$.Contoh 18Tentukan KPK dari 60, 75 dan 150 menggunakan Sifat dua bilangan, misalnya $60$ dan $75$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}75 &= 1 \times \textcolor{blue}{60} + \textcolor{green}{15} \\\textcolor{blue}{60} &= 4 \times \textcolor{green}{15} + 0\end{aligned}$$Diperoleh $60,75=15$. Berdasarkan Sifat 4, diperoleh$$\begin{aligned}[60,75] &= \frac{60 \cdot 75}{60,75} \\&= \frac{60 \cdot 75}{15} \\&= 60 \cdot 5 \\&= 300\end{aligned}$$Berdasarkan Sifat 5, diperoleh$$[60,75,150]=[[60,75],150]=[300,150]$$Perhatikan bahwa $300$ adalah kelipatan dari $150$, sehingga $[300,150]=300$. Dengan demikian, KPK dari $60$, $75$, dan $150$ adalah $300$.Demikian bahasan mengenai FPB dan KPK. Jika ada bagian yang kurang dipahami atau dianggap keliru, anda bisa menyampaikan melalui komentar. Semoga bermanfaat!

diketahui dua bilangan bulat a dan b